如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD,交CD的延长线于点F,CH⊥AB于H,交AE于点G,求证BD=CG

题目

如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD,交CD的延长线于点F,CH⊥AB于H,交AE于点G,求证BD=CG

答案

∵∠EAC+∠ECA=90°=∠EAC+∠FCB
∴∠EAC=∠FCB
在Rt△ACE和Rt△CBF中,∠EAC=∠FCB,∠CEA=∠BFC=Rt∠,BC=AC
∴Rt△ACE≌Rt△CBF
∴BF=CE
而∠BDF=∠CDH=90°-∠ECH=∠CGE
在Rt△BDF和Rt△CGE中,∠BDF=∠CGE,∠CEG=∠BFD=Rt∠,BF=CE
∴Rt△BDF≌Rt△CGE
∴BD=CG .