设OA向量=a,OB向量=b,ab=|a-b|=2,当三角形AOB的面积最大时,a,b的夹角为?

题目

设OA向量=a,OB向量=b,ab=|a-b|=2,当三角形AOB的面积最大时,a,b的夹角为?

答案

设夹角为x
|a-b|=2 平方得|a|^2+|b|^2-2a·b=4
由于a·b=2
所以a^2+b^2=4+4=8
又由不等式|a|^2+|b|^2≥2ab
ab≤0.5(a^2+b^2)=4
ab≤4
由公式S=0.5|a||b|sinx
所以|a||b|sinx=2S
而a·b=|a||b|cosx=2
[|a||b|sinx]^2+[|a||b|cosx]^2
=|a|^2|b|^2*(sinx^2+cosx^2)
=|a|^2|b|^2
=4s^2+4
又因为ab≤4
所以|a|^2|b|^2≤16
4s^2+4≤16
s^2≤3
s≤根号3
当且仅当|a|=|b|=2时等号成立
代入|a||b|cosx=2
cosx=2/4=1/2
所以x=60度