sinx+cos=m,(|m|小于等于根号2,且|m|不等于1）求(sinx)^3+(cosx)^3 ,(sinx)^4+(cosx)^4

题目

sinx+cos=m,(|m|小于等于根号2,且|m|不等于1）求(sinx)^3+(cosx)^3 ,(sinx)^4+(cosx)^4

答案

sinx+cosx=m
两边平方
(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2=m^2
1+2sinxcosx=m^2
sinxcosx=(m^2-1)/2
(sinx)^3+(cosx)^3
=(sinx+cosx)[(sinx)^2-sinxcosx+(cosx)^2]
=m*[1-(m^2-1)/2]
=m(3-m^2)/2
(sinx)^2+(cosx)^2=1
两边平方
(sinx)^4+2(sinx)^2(cosx)^2+(cosx)^4=1
(sinx)^4+(cosx)^4=1-2(sinxcosx)^2
=1-2[(m^2-1)/2]^2
=1-(m^2-1)^2/2
=(-m^4+2m^2+3)/2