1.设i,j分别是x轴,y轴正方向上的单位向量,且向量AB=4i+2j,向量AC=3i+4j,则三角形ABC的面积是?

题目

1.设i,j分别是x轴,y轴正方向上的单位向量,且向量AB=4i+2j,向量AC=3i+4j,则三角形ABC的面积是?
2.已知平面上直线l的 方向向量e=（-4/5,3/5）,点O（0,0）与点A（1,-2）在l上的射影分别为O1,A1,且向量O1A1=x*e（向量e）,求x的值为?
3.已知向量a=（sinw,√3）,b=（1,cosw）,w∈（-π/2,π/2）,求
|a+b| （都是向量）的最大值为多少?

答案

（1）向量AB*向量AC=（4i+2j）*（3i+4j）=20
向量AB和AC夹角 cosA=(向量AB*向量AC)/(AB的模*AC的模)=2根号5/5
所以 sinA=根号5/5
所以 面积ABC=1/2*AB的模*AC的模*sinA=5
（三角形面积等于两边的积乘以所夹角的正弦的一半）
（2）由于直线l的方向向量e=（-4/5,3/5）,
所以 直线l方程为y=-3/4*x 所以 O 和O1 都在l上
由点到直线距离公式得到
A到l距离为 d={3x+4y}/根号（3^2+4^2）
=1 "{}"表示绝对值号
而三角形O1AA1为直角三角形
所以 O1A1的长=根号（O1A^2+d^2）=根号6
又单位向量e长为1
所以 x=O1A1的模/单位向量的模=根号6
（3）a+b=（sinw+1,√3+cosw）
|a+b|=√(sinw+1)^2+(√3+cosw)^2
=√(5+2sinw+2√3cosw)
=√{5+4sin(w+60度)}
sin(w+60度)在-1和1之间
所以 取1时得到最大值 =√{5+4*1}=3