求四个不超过70000的正整数,每一个正整数的约数的个数多于100个.

题目

求四个不超过70000的正整数,每一个正整数的约数的个数多于100个.

答案

大于100且因数较多较小的数有：108、112、120等.
有108个约数的：
108=2×2×3×3×3
= (1+1)×(1+1)×(2+1)×(2+1)×(2+1)
则有：2^2 * 3^2 * 5^2 * 7 * 11 = 69300 ……①
或108 = (1+1)×(2+1)×(2+1)×(5+1)
则有：2^5 * 3^2 * 5^2 * 7 = 50400 ……②
有112个约数的：
112 = 2×2×4×7
= (1+1)×(1+1)×(3+1)×(6+1)
则有：2^6 * 3^3 * 5 * 7 = 60480 ……③
有120个约数的：
120=2×2×2×3×5
= (1+1)×(1+1)×(1+1)×(2+1)×(4+1)
则有：
2^4 * 3^2 * 5 * 7 * 11 = 55440 ……④
2^4 * 3^2 * 5 * 7 * 13 = 65520 ……⑤
上面逆用了约数个数公式,参考baike.baidu.com/view/1780622.htm
本题中,要使约数如此之多,必使所求的数尽量为较多个较小的质因数的乘积.
则在大于100的数中,选择尽量小的、质因数又多又小的数,逆用了约数个数公式推出所求数可能的形式,并计算判断.