在三角形ABC中,(2b-c)cosA-acosC=0,a=2求三角形面积的最大值 指出三角形形状

题目

在三角形ABC中,(2b-c)cosA-acosC=0,a=2求三角形面积的最大值 指出三角形形状

答案

根据余弦定理可得cosA=(a2-b2-c2)/2bc,cosC=(c2-a2-b2)/2ab
代入原式即为（2b-c）(a2-b2-c2)/2bc－a(c2-a2-b2)/2ab＝0
展开(a2-b2-c2）/c－(a2-b2-c2）/2b－a(c2-a2-b2)/2ab＝0
(a2-b2-c2）/c＝(a2-b2-c2）/2b+a(c2-a2-b2)/2ab
将a＝2代入即为(a2-b2-c2）/c＝0,b2+c2＝a2＝4
则三角形ABC为直角三角形,且角A对应的边BC为斜边
三角形ABC面积＝bc/2
又根据重要不等式性质,b2+c2＝4≥2bc,当且仅当b=c时bc取最大值2
所以三角形面积的最大值为bc/2＝1,此时三角形为等腰直角三角形