椭圆运动的公式,

题目

椭圆运动的公式,
一个天体围绕中心天体做椭圆运动运动.
其轨迹与初速度(大小和方向),初射位置,以及中心天体的质量的关系.
最好有坐标系的方程表达式.
如果实在找不到,速度随与中心天体中心的距离的变化的公式.
如果这个也找不到,已知初速度(大小和方向)和初射位置以及中心天体的质量,其远地点和近地点距离的表达式.
顺便回答一下这个问题.
AB2个质量相同的物体,A做匀速圆周运动,B做椭圆运动,AB的周期相同,两个物体的机械能大小比较.

答案

首先,要弄清开普勒运动中的一些守恒量.
r是物体与中心天体的距离,v是物体速度,m是物体质量,M是中心天体质量,L是物体角动量,θ是物体速度与物体和中心天体连线的夹角.
角动量守恒：L'=mr'×v'(其中L',r'与v'是矢量,×是叉乘)
机械能守恒：这个不用说了,不过用机械能来推导好像很难推导.
然后就是隆格-愣次矢量,这个是从纯理论上推导出来的守恒量
B'=v'×L'-GMmr'/r=常量
r'·B'=r'·(v'×L')-GMmr=L'·(r'×v')-GMmr=L^2/m-GMmr
其中r'·B'=rBcosθ
解得：r=p/(1+εcosθ)
式中：p=L^2/(GMm^2),ε=B/GMm
这便是极坐标下描绘的圆锥曲线,ε是离心率,p是半正焦弦
然后是你“顺便”的问题,我只能告诉你,是相等的
根据开普勒定律,开普勒运动物体轨迹半轴长a=K^(1/3)T^(2/3)（其中K=GM）
也就是说,周期一定的运动,那么它的半轴长就确定了（不管是圆还是椭圆）.
然后根据a=-GMm/(2E),也就是说,能量只与半轴长有关.这个你用上面式子算算看是不是,反正我是懒得算了.