已知数列an的首项a1=2a+1(a是常数,且a≠-1),an=2a(n-1)+n²-4n+2(n≥2
题目
已知数列an的首项a1=2a+1(a是常数,且a≠-1),an=2a(n-1)+n²-4n+2(n≥2
an=2a(n-1)+n²-4n+2(n≥2),数列bn的首项b1=a.bn=an+n²
(1)证明bn从第二项起是以2为公比的等比数列
(2)设Sn为数列bn的前n项和,且Sn是等比数列,求实数a的值
(3)当a>0时,求数列an的最小值
答案
(1)将通项变形得:an+n^2=2(a(n-1)+(n-1)^2)
因为bn=an+n²,所以bn=2b(n-1)(n>=3)
即从第二项起为公差为2等比数列
(2)因为b1=a,从第二项起公比为2,故由等比数列求和公式有:
Sn=(a+1)*2^(n+1)-3a-4
又有Sn成等比,
取其相邻两项比较得:a=-4/3
(3)(第三题与第二小题无关)
因为b2=4a+4 推知当n>=2有bn=(a+1)*2^n
an=(a+1)*2^n-n^2
因为a>0,a+1>1所以
当n>=3时a(n+1)-an=(a+1)*2^n-(2n+1)>2^n-(2n+1)>0
故比较a1,a2,a3即可.
a1=2a+1 a2=4a a3=8a-1显然
当0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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