由同一正方形组成的最少面的立体图形是正方体,它有6个面,那么由正五边形组成的最小立体图有几个面?为什么?正六边形呢?.正七边呢?（请写出计算推导分析过程）

题目

由同一正方形组成的最少面的立体图形是正方体,它有6个面,那么由正五边形组成的最小立体图有几个面?为什么?正六边形呢?.正七边呢?（请写出计算推导分析过程）

答案

建议你去看看 毕达哥拉斯 关于正多面体的研究吧,我们的世界里只有5种正多面体.由正五边形组成的只能是12面体,而正六边形无法组成一个立体图形.
具体推导如下：
顶点数V,面数F,棱数E
设正多面体的每个面是正n边形,每个顶点有m条棱.
棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条棱）,即 nF=2E -------------- ①
同时,E应是顶点数V与m的积的一半,即 mV=2E -------------- ②
由①、②,得 F=2E/n,V=2E/m,
代入欧拉公式V+F-E=2,有 2E/m+2E/n-E=2
整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数,所以1/E>0.因此 1/m+1/n>1/2 -------------- ③
说明m,n不能同时大于3,否则③不成立.
另一方面,由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知,m≥3且n≥3.因此m和n至少有一个等于3
当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5
同理n=3,m也只能是3,4,5
所以有以下几种情况：
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种