设椭圆的中心是坐标原点 长轴在x轴上 e=√3/2 ,p（0,3/2）到这个椭圆的点的最远距离为√7,求椭圆方程 .

题目

设椭圆的中心是坐标原点 长轴在x轴上 e=√3/2 ,p（0,3/2）到这个椭圆的点的最远距离为√7,求椭圆方程 .
再求椭圆上到p距离为√7的点的坐标.

答案

由e=c/a=√3/2得,c²=3a²/4
所以b²=a²-c²=a²/4
因此可设椭圆方程为x²/4b²+y²/b²=1,即x²+4y²=4b²
设椭圆上一点(x,y)到P的距离为d
则d²=x²+(y-3/2)²=4b²-4y²+y²-3y+9/4=-3(y+1/2)²+4b²+3,y∈[-b,b]
①若P在椭圆内,即b≥3/2.则d²(max)=4b²+3=7.即b=1(舍去)
②若1/2≤b