关于向量的证明题.

题目

关于向量的证明题.
设向量组α1、α2、α3、α4、α5线性无关
β1=α1+α2 β2=α2+α3 β3=α3+α1 β4=α4+α5 β5=α5+α1
证明β1、β2、β3、β4、β5线性无关

答案

设A=（α1、α2、α3、α4、α5）
B=（β1,β2,β3,β4,β5）
β1=α1+α2 β2=α2+α3 β3=α3+α4 β4=α4+α5 β5=α5+α1
则B=AK
K=
〔1 0 0 0 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1〕
因为｜K｜不等于0
所以R（B）=R（A）
因为α1、α2、α3、α4、α5线性无关
所以R（A)=5,从而R（B）=5
从而β1、β2、β3、β4、β5线性无关