设A是sxn矩阵,B是由A的前m行构成的mxn矩阵,证明：若A的行向量组的秩为r,则r(B)>=r+m-s.

题目

设A是sxn矩阵,B是由A的前m行构成的mxn矩阵,证明：若A的行向量组的秩为r,则r(B)>=r+m-s.

答案

证明:设A的行向量组为 a1,a2,...,am,...,as.
则B的行向量组为 a1,a2,...,am.
A的行向量组的秩为r,即 r(A)=r.
即要证 r(B)>=r(A)+m-s.
设 ai1,ai2,...,air(B) 是 a1,a2,...,am 的极大无关组.
则它可扩充为 a1,a2,...,am,...,as 的极大无关组(即A的行向量组的极大无关组)
但因为只能从 a(m+1),...,as 这s-m个向量中扩充
所以 r(A)=r+m-s.