若n*n矩阵A可逆,证明：存在n-1次多项式φ(λ),使得A^-1=φ(A)

题目

若n*n矩阵A可逆,证明：存在n-1次多项式φ(λ),使得A^-1=φ(A)

答案

这用到高代中的一个结论
设 f(x) = x^n +a(n-1)x^(n-1)+...+a1x+a0 是A的特征多项式 |xE-A|.
则 f(A) = 0,且 a0 = |A| .由A可逆知 |A|≠0.
所以有 A(A^(n-1)+a(n-1)A^(n-2)+...+a1E) = -a0E
所以 A^(-1) = -1/a0 (A^(n-1)+a(n-1)A^(n-2)+...+a1E) .
...你知道φ(λ)是什么了哈.