设f(x)=定积分(ln(1+t)/t)dt(x>0),上限x,下限1,求f(x)+f(1/x)

题目

设f(x)=定积分(ln(1+t)/t)dt(x>0),上限x,下限1,求f(x)+f(1/x)

答案

设 f(x)=∫[1,x] ln(1+t)/t dt 令u=1/t
=∫[1,1/x] uln(1+1/u) d1/u
=∫[1,1/x] -[ln(1+u)-lnu] / udu
=∫[1,1/x] -ln(1+u) / udu+ ∫[1,1/x] lnu / udu
=-f(1/x)+∫[1,1/x] lnu / udu
=-f(1/x)+∫[1,1/x] lnu dlnu
=-f(1/x)+(lnu)^2/2 | [1,1/x]
=-f(1/x)+(ln1/x)^2/2
∴f(x)+f(1/x)=(ln1/x)^2/2