已知复数Z满足：|Z|=1且Z不等于正负i,求证：Z/1+Z²是实数.

题目

已知复数Z满足：|Z|=1且Z不等于正负i,求证：Z/1+Z²是实数.

答案

设Z=a+bi
|Z|=1且Z不等于正负i,a≠0,b≠±1
a²+b²=1
a²=1-b²
Z/(1+Z²)
=(a+bi)/[1+(a+bi)²]
=(a+bi)/(a²+1-b²+2abi)
=(a+bi)/(a²+a²+2abi)
=(a+bi)/(2a²+2abi)
=(a+bi)/[2a(a+bi)]
=1/2a是实数