如何证明开普勒第二定律 用角动量守恒

题目

如何证明开普勒第二定律 用角动量守恒

答案

开普勒第二定律又称面积定律,即相等时间扫过面积相等,也即掠面速度不变,证明这个定律的关键是弄清楚角动量和掠面速度的关系,即下面的（3）式.具体我就不写了,下面引用一位仁兄的写法.
开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变．
利用角动量守恒定律证明如下.
证明：行星在太阳的引力作用下绕日运动,所以行星受到的引力对太阳的力矩为零,即行星对太阳的角动量L守恒（为常矢量）．L的大小为
L=r*m*v*sinp=常数 (1)
其中p是矢径r与行星速度v的夹角．
设在足够小的dt时间内,太阳到行星的矢径r扫过的角度很小,于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为
dS=0.5*r*v*dt*sinp
则矢径r掠过的面积速度为
u=dS/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp (2)
(2)式同(1)式对比可得
L=2m*u=常数 （3）
于是u即掠面速度是常数.
由此得证：由角动量守恒,行星运动的掠面速度不变.