利用定义判定函数f(x)=x+√(x^2+1)在（-∞~+∞）上的单调性.急!

题目

利用定义判定函数f(x)=x+√(x^2+1)在（-∞~+∞）上的单调性.急!

答案

设 yf(x)-f(y) = [x+√(x^2+1)] -[y+√(y^2+1)]
= (x-y) + [√(x^2+1)-√(y^2+1)]
= (x-y) + [x^2 - y^2]/[√(x^2+1)+√(y^2+1)]
= (x-y)*{ 1 + [x+y]/[√(x^2+1)+√(y^2+1)]}
= (x-y)/[√(x^2+1)+√(y^2+1)]*{ [√(x^2+1) +x]+[√(y^2+1) +y]} > 0
∵ √(x^2+1) > |x| , √(y^2+1) > |y|
∴ [√(x^2+1) +x]+[√(y^2+1) +y] > 0
∴ f(x)=x+√(x^2+1)在（-∞~+∞）上单调递增.