：求 ∫ sin^2x cos^2x dx 和 ∫ x^5根号(1-x^2) dx

题目

：求 ∫ sin^2x cos^2x dx 和 ∫ x^5根号(1-x^2) dx

答案

∫ sin²xcos²x dx
= ∫ (1/2 · 2sinxcosx)² dx
= (1/4)∫ sin²2x dx
= (1/4)∫ (1 - cos4x)/2 dx
= (1/8)(x - 1/4 · sin4x) + C
= x/8 - (sin4x)/32 + C
∫ x⁵√(1 - x²) dx,令u² = 1 - x²,2u du = - 2x dx
= ∫ (x²)² · √(1 - x²) · (x dx)
= ∫ (1 - u²)² · u · - u du
= - ∫ u²(1 - 2u² + u⁴) du
= ∫ (- u² + 2u⁴ - u⁶) du
= - u³/3 + (2/5)u⁵ - (1/7)u⁷ + C
= - (1/3)(1 - x²)^(3/2) + (2/5)(1 - x²)^(5/2) - (1/7)(1 - x²)^(7/2) + C
= (- 1/105)(15x⁴ + 12x² + 8)(1 - x²)^(3/2) + C