设a、b、c是单位向量,且a=b+c,则向量a,b的夹角=?

题目

设a、b、c是单位向量,且a=b+c,则向量a,b的夹角=?

答案

方法一:利用数量积的定义 (代数方法)
a = b + c
a • a = (b + c) • (b + c)
a² = b² + 2b • c + c²
∣a∣² = ∣b∣² + 2b • c +∣c∣²
1 = 1 + 2b • c + 1
∴b • c = -1/2
a = b + c
a • b = (b + c) • b
a • b = b² + c • b
a • b = ∣b∣² + b • c
a • b = 1 + (-1/2) = 1/2
∣a∣ * ∣b∣ * cos = 1/2
1 * 1 * cos = 1/2
得a,b的夹角为60度.
方法二:利用向量的平行四边形加法法则 (几何方法)
∵a = b + c
∴a可看作是以b,c为邻边的平行四边形的一条对角线 (要注意对角线方向及位置)
且a,b,c是单位向量
即a,b,c的长度为1
则对角线划分平行四边形为两等边三角形
∴a,b的夹角为60度.