已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b，其中a，b∈R．若函数f（x）仅在x=0处有极值，则a的取值范围是_．

题目

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b，其中a，b∈R．若函数f（x）仅在x=0处有极值，则a的取值范围是______．

答案

由题意，f′（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）
要保证函数f（x）仅在x=0处有极值，必须方程4x²+3ax+4=0没有实数根或者只有一根是0（但显然不是，舍去）．
由判别式有：（3a）²-64＜0，∴9a²＜64
∴-

8

3

＜a＜

8

3

∴a的取值范围是(−

8

3

，

8

3

)
故答案为：(−

8

3

，

8

3

)