已知函数f（x）=(x2-3x+3)*ex,其定义域为[-2,t]（t>-2）,设f(-2)=m,f(t)=n.

题目

已知函数f（x）=(x2-3x+3)*ex,其定义域为[-2,t]（t>-2）,设f(-2)=m,f(t)=n.
求证：对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足f’(x0)/ex0=2/3*(t-1)2,并确定这样的x0的个数.

答案

f'(x0)/e^x0=x0^2-x0=(x0-1/2)^-1/4,
∴-2≤x0=1/2±根号[2/3(t-1)^2+1/4]≤t,化简后,
取正时,左边显然成立,右边令g(t)=t(t-1)^3≤2/3显然存在(t=1)
取负时,右边证明同上,左边1+8/3(t-1)^2≤25显然存在,所以有2个