已知向量a=(cos3/2x,sin3/2x),b=(cosx/2,-sinx/2).且x∈[0,π2],求:(1)a•b;(2)若f(x)=a•b-2λ|a+b|的最小值是-3/2,求λ的值.
题目
已知向量
=(cosx,sinx),
=(cos,-sin).且x
∈[0,],求:
(1)
•;
(2)若f(x)=
•-2λ|
+|的最小值是-
,求λ的值.
答案
(1)
•=
=
=2cosx(x∈[0,
])
(2)由(1)知:f(x)=cos2x-4λcosx=2cos
2x-4λcosx-1=2(cosx-λ)
2-2λ
2-1
∵
x∈[0,]∴cosx∈[0,1],
当λ∈[0,1]时,f(x)
min=-2λ
2-1,而
f(x)min=-,
所以
-2λ2-1=-,λ=,
当λ<0时,
f(x)min=f()=2λ
2-2λ
2-1=-1,
而
f(x)min=-,不符合题意.
当λ>1时,f(x)
min=f(0)=2-4λ-1=-4λ+1,而
f(x)min=-所以-4λ+1=-
,λ=这与λ>1矛盾
综上述λ的值为
.
(1)利用向量的数量积的运算,根据两向量的坐标求得
•,并利用二倍角的余弦化简整理.
(2)根据(1)和题设向量的坐标求得函数f(x)的解析式,利用二倍角的余弦化简整理,然后利用x的范围确定cosx的范围,看λ∈[0,1],λ>1和λ<-1时根据二次函数的性质可确定函数的最小值,求得λ.
三角函数的最值;向量的模;平面向量数量积的运算.
本题主要考查了三角函数的最值,平面向量的基本性质和基本运算.考查了学生对三角函数和向量的知识的综合运用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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