求极限x->无穷 [(a1^(1/x)+a2^(1/x)+...+an^(1/x))/n]^(nx) 其中a1,a2...an>0

题目

求极限x->无穷 [(a1^(1/x)+a2^(1/x)+...+an^(1/x))/n]^(nx) 其中a1,a2...an>0

答案

令：t=[a1^(1/x)+a2^(1/x)+...+an^(1/x)-n]/n
lim(x->∞) t = 0
lim(x->∞) t*nx
lim(n->∞) [a1^(1/x)+a2^(1/x)+...+an^(1/x)-n]/n * nx
=lim(n->∞) {a1^(1/x)-1}+{a2^(1/x)-1}+...+{an^(1/x)-1} * x
=lim{a1^(1/x)-1}*x+lim {a2^(1/x)-1}*x+...+lim {an^(1/x)-1} *x
【等价无穷小量代换：ak^(1/x)-1 lnak*（1/x）】
=lim lna1*(1/x)*x+lim lna2*(1/x)*x+...+lim lnan*(1/x)*x
= ln(a1a2...an)
∴
lim(x->∞) [(a1^(1/x)+a2^(1/x)+...+an^(1/x))/n]^(nx)
=lim(x->∞) [1+ (a1^(1/x)+a2^(1/x)+...+an^(1/x)-n)/n]^(nx)
=lim(x->∞) {(1 +t)^(1/t)}^t*nx
= e^(ln(a1a2...an)
= a1a2...an