已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN=45° ①求证：MN=BM+DN； ②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF=y，DE=x，求y与

题目

已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN=45°

①求证：MN=BM+DN；
②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF=y，DE=x，求y与x的函数关系式．

答案

（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，
∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°，AM′=AM，BM=DM′，
∵M′AN=∠MAN=45°，AN=AN，
∴△AMN≌△AM′N′，
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN．
（2）∵∠AED=45°+∠BAE，∠FAB=45°+∠BAE，
∴∠AED=∠FAB，
∵∠ABF=∠ADE，
∴△BFA∽△DAE，
∴

BF

AD

=

AB

DE

，
∴

y

2

=

2

x

，
∴y=

4

x

．