已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an+1＝λan+n，bn＝an−2n/3+4/9． （1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列； （2）当λ＝−1/2时，试判断{bn

题目

已知数列{a_n}和{b_n}满足a

答案

（1）当m=1时，a₁=1．a₂=λ+1，a₃=λ（λ+1）+2=λ²+λ+2
假设{a_n}是等差数列，由a₁+a₃=2a₂，
得λ²+λ+3=2（λ+1），
即λ²-λ+1=0，
∴△=-3＜0，
∴方程无实根．
故对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列．
（2）当λ＝−

1

2

时，an+1＝−

1

2

an+n，bn＝an−

2n

3

+

4

9

bn+1＝an+1−

2(n+1)

3

+

4

9

＝(−

1

2

an+n)−

2(n+1)

3

+

4

9

＝−

1

2

an+

n

3

−

2

9

=−

1

2

(an−

2n

3

+

4

9

)＝−

1

2

bn又b1＝m−

2

3

+

4

9

＝m−

2

9

，
∴当m≠

2

9

时，{bn}是以m−

2

9

为首项，−

1

2

为公比的等比数列，
当m＝

2

9

时，{bn}不是等比数列．