[高数]分段函数的导数

题目

[高数]分段函数的导数
1,f(x)=
∏/4 + (x-1)/2 x>1
arctgx x=1
-∏/4 +(x+1)/2 x0,lim[(1+x)^(1/x)-e]/x=e lim[(1/x)ln(1+x)-1]/x
这是为什么?分子提取e以后也应该是elim{e^[(1/x)ln(1+x)-1]-1}/x才对啊?
3,f(x)=
(x^3)sin(1/x) x≠0
0 x=0
x->0 limf(x)=0=f(0),所以在x=0连续,但是
x->-0 limf(x)中x^3 +0 limf(x)中x^3>0,很明显左右极限不相等,为什么还连续?
PS：所有极限存在且相等是不是函数在该点连续的充要条件?
门，那不就是派吗，电脑里派都这样写
PS：极限存在且相等是不是就是函数在该点连续的充要条件？？
另：书上说：f(x),g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）可导，则f(x)=g(x)，f'(x)=g'(x),这是为什么，比如sinx和cosx也符合在定义域上连续可导啊，
但sinx≠cosx

答案

1、①这一步是为了说明,函数在x=1这一点连续
所以接下来可以把定义域扩展到1
2、感觉上,这个是取了ln,也就是说,是变成了e^{lim[(1/x)ln(1+x)-1]-lnx}
3、首先f(0)就是不存在的,sin(1/0)怎么可能知道是什么数呢?所以这题有问题的
p.s.描述可以再清楚点么?什么叫所有极限?
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左右极限存在且相等,不可以推出连续
比如f(x)=|x|,定义域挖去0点,那么在0点左右极限都=0,但偏偏不连续
连续好像可以推出左右极限存在且相等
你说的书上的话肯定不完整,否则这个结论就是错的,再好好看看吧