求齐次线性方程组 x1-x2+5x3-x4=0;x1+x2-2x3+3x4=0;3x1-x2+8x3+x4=0;x1+3x2-9x3+7x4=0.基础解系和通解?

题目

求齐次线性方程组 x1-x2+5x3-x4=0;x1+x2-2x3+3x4=0;3x1-x2+8x3+x4=0;x1+3x2-9x3+7x4=0.基础解系和通解?
得到等价方程组为：x1=-3/2*x3-x4;x2=7/2x3-2x4.此时令x3=1,x4=0,得到x1,x2,进而得到基础解系,再令x3=0,x4=1,得到x1,x2,进而得到基础解系.想问下,为什么要分别令x3=1,x4=0；x3=0,x4=1,如何想到?还有基础解系为什么都用列向量表示?

答案

自由未知量x3,x4任取一组线性无关的向量都可得基础解系
其中较简单的一组就是 (1,0),(0,1).
方程组的解用列向量表示,主要是考虑到线性方程组的矩阵形式 AX=b,其中X是列向量.