有一个等腰三角形ABC,顶角A是100度,角B的平分线BD,交AC于D,证明:AD+BD=BC

题目

有一个等腰三角形ABC,顶角A是100度,角B的平分线BD,交AC于D,证明:AD+BD=BC

答案

∵△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C=(180°-∠A)/2=40°
∵BD是∠B平分线
∴∠ABD=∠CBD=1/2∠B=20°
以B为圆心,BA为半径画弧交BC于E,连接DE
∵BD是∠B平分线
∴∠ABD=∠EBD
又：BE=BA,BD=BD
∴△ABD ≌ △EBD
∴∠DEB=∠A=100°,AD=ED
以B为圆心,BD为半径画弧交BC于F,连接DF,则△BDF是等腰三角形
∠BDF=∠BFD=(180°-∠CBD)/2=80°
又：∠DEF=180°-∠DEB=80°
∴△DEF是等腰三角形
∴DE=DF
∠DFB是△DFC的外角,∠DFB=∠C+∠FDC
∴∠FDC=∠DFB-∠C=40°
∴∠DFB=∠C
∴△DFC是等腰三角形
∴FD=FC
∴AD=DE=DF=FC
∴AD+BD==FC+BF=BC