设f(x)是定义在R上的函数,对m.n ∈R恒有f(m+n)=f(m).f(n),且当x>0时,0

题目

设f(x)是定义在R上的函数,对m.n ∈R恒有f(m+n)=f(m).f(n),且当x>0时,01）求证：f（0）=1；
2）证明：x∈R时恒有f（x）〉0;
3)求证：f（x）在R上是减函数.

答案

第一问：可令m=x>0,n=0,因为f(m+n)=f(m)*f(n),代入有f(x)=f(0)*f(x),所以f(0)=1或f(x)=0,又因为当x>0时,0第二问：当x>=0时,00,故对于任意的x<0,f(x)>0.所以当x∈R,恒有f(x)>0.
第三问：在-∞0f(x),所以x>=0时,f(x)单调递减.当-∞0,因为
0f(x2)=f(x2+c)/f(c),故f(x)在此区间上单调减.由上面可知,f(x)在R上单调减.