求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.

求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.

题目
求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.
答案
证明:ax2-ax+1>0(a≠0)恒成立
a>0
△=a2−4a<0

⇔0<a<4.
即关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.
一元二次不等式ax2-ax+1>0对一切实数x都成立,y=ax2-ax+1>0的图象在x轴上方,
a>0 
△<0
,由此能够求出a的取值范围,从而得到证明.

必要条件、充分条件与充要条件的判断.

本题考查二次函数的图象和性质,解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解.主要考查了二次函数的恒成立问题.二次函数的恒成立问题分两类,一是大于0恒成立须满足开口向上,且判别式小于0,二是小于0恒成立须满足开口向下,且判别式小于0.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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