2^n>n^4对于哪些正整数n成立?证明你的结论

题目

2^n>n^4对于哪些正整数n成立?证明你的结论

答案

n>16 时成立
证明如下
当n=17时 2^17>17^4 成立
假设n=k时 2^k>k^4 成立
则当n=k+1时 （以下k用16代换）
2^k+1=2^k*2>k^4*2>k^4+16k^3>k^4+4k^3+192k^2=k^4+4k^3+6k^2+186k^2
>k^4+4k^3+6k^2+4k+3068k>k^4+4k^3+6k^2+4k+1=(k+1)^4
成立