已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，2），则四边形ABCD的面积的最大值为（　　） A.4 B.42 C.5 D.52

题目

已知AC，BD为圆O：x²+y²=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，

2

），则四边形ABCD的面积的最大值为（　　）
A. 4
B. 4

2

C. 5
D. 5

2

答案

设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则d₁²+d₂²=OM²=3．
四边形ABCD的面积为：S=

1

2

AC•BD=

1

2

•2

4−d12

•2

4−d22

=2

4−d12

•

4−d22

 
≤4-d12+4-d22=5，当且仅当d₁² =d₂²时取等号，
故选：C．

设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则 d₁²+d₂² =3，代入面积公式s=

1

2

AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．

本题考点：直线与圆相交的性质；基本不等式；与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查圆中弦长公式得应用以及基本不等式的应用，四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算，属于基础题．