已知函数f(x)=1/4x4+x3−9/2x2+cx有三个极值点. (I)证明:-27<c<5; (II)若存在实数c,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围.
题目
已知函数
f(x)=x4+x3−x2+cx有三个极值点.
(I)证明:-27<c<5;
(II)若存在实数c,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围.
答案
(I)因为函数f(x)=14x4+x3−92x2+cx有三个极值点,所以f'(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根.设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),当x<-3时,g'(x)>0,g(x)在(-∞,-3)上为增函...
(1)题目中:“有三个极值点”先转化为其导数的零点问题,即f'(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实0即可;
(2)存在性问题,由于f(x)的单调递减区间是(-∞,x1],[x2,x3],只需[a,a+2]是(-∞,x1]或[x2,x3]的子集即可.
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
本题考查了导数的几何意义,利用导数求闭区间上函数的最值,恒成立问题的处理方法
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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