A为n阶方阵,A^2+A-4E=O,证明A与A-E都是可逆矩阵,并写出A^-1及（A-E)^-1

题目

A为n阶方阵,A^2+A-4E=O,证明A与A-E都是可逆矩阵,并写出A^-1及（A-E)^-1

答案

A^2+A-4E=O
A^2+A=4E
A(A+E)=4E
A(A+E)/4=E
因此,A可逆,且A^-1＝(A+E)/4
A^2+A-4E=O
A^2+A-2E＝2E
(A-E)(A+2E)=2E
(A-E)(A+2E)/2=E
因此,A-E可逆,且（A-E)^-1＝(A+2E)/