设a，b，c为正实数，求证：1/a3+1/b3+1/c3+abc≥23．

题目

设a，b，c为正实数，求证：

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

．

答案

证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥3

3	1 a3 • 1 b3 • 1 c3

，
即  

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥

3

abc

，
所以，

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥

3

abc

+abc，
而 

3

abc

+abc≥2

3 abc •abc

=2

3

，
所以，

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

先根据平均值不等式证明

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥

3

abc

+abc，再证  

3

abc

+abc≥2

3 abc •abc

＝2

3

．

本题考点：平均值不等式；不等式的证明．

考点点评：本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数

a1+a2+…+an

n

  大于或等于它们的几何平均数 

n	a1•a2…an

．