已知椭圆16/X2+4/Y2=1 求以P(2.-1)为中心的弦的直线的方程

题目

已知椭圆16/X2+4/Y2=1 求以P(2.-1)为中心的弦的直线的方程

答案

设所求直线方程为y=kx+b,与椭圆x²/16+y²/4=1,相交于A﹙x₁,y₁﹚,B﹙x₂,y₂﹚两点,故有：
y₁=kx₁+b ①
y₂=kx₂+b ②
x₁²/16+y₁²/4=1 ③
x₂²/16+y₂²/4=1 ④
且P(2,-1)为弦AB的中点,故(x₁+x₂)/2=2,x₁+x₂=4,(y₁+y₂)/2=-1,y₁+y₂=-2；
①-② y₁-y₂=k(x₁-x₂）,k=（y₁-y₂）/(x₁-x₂) ⑤
③-④ (x₁+x₂)(x₁-x₂)/16+(y₁+y₂)(y₁-y₂)/4=0,带入x₁+x₂=4,y₁+y₂=-2,
得x₁-x₂=2(y₁-y₂),由⑤,故k=1/2；
①+② y₁+y₂=k(x₁+x₂）+2b,带入x₁+x₂=4,y₁+y₂=-2,k=1/2,得b=-2；
综上,所求直线方程为y=(1/2x)-2.