已知圆x^2+y^2-2ax+4y+a^2-5=0和圆x^2+y^2+2x-2ay+a^2-3=0外切,求实数a的值

题目

已知圆x^2+y^2-2ax+4y+a^2-5=0和圆x^2+y^2+2x-2ay+a^2-3=0外切,求实数a的值

答案

已知圆x²+y²-2ax+4y+a²-5=0和圆x²+y²+2x-2ay+a²-3=0外切,求实数a的值
第一个圆：(x-a)²+(y+2)²-a²-4+a²-5=(x-a)²+(y+2)²-9=0
故得(x-a)²+(y+2)²=9,这是一个圆心为M(a,-2）,半径R=3的圆；
第二个圆：(x+1)²+(y-a)²-1-a²+a²-3=(x+2)²+(y-a)²-4=0
故得(x+2)²+(y-a)²=4,这是一个圆心为N(-1,a),半径r=2的圆.
两圆外切,则R+r=︱MN︱=√[(a+1)²+(-2-a)²]=√(2a²+6a+5)=5
故得2a²+6a-20=2(a²+3a-10)=2(a+5)(a-2)=0,故得a₁=2,a₂=-5.