行列式,主对角线全x,上三角全为a,下三角全为-a

题目

行列式,主对角线全x,上三角全为a,下三角全为-a

答案

x a a ...a a
-a x a ...a a
-a -a x ...a a
：：::
-a -a -a ...-a x
行列式Dn =
a+(x-a) a a ...a a
-a x a ...a a
-a -a x ...a a
：：::
-a -a -a ...-a x
=
a a a ...a a x-a a a ...a a
-a x a ...a a 0 x a ...a a
-a -a x ...a a + 0 -a x ...a a
：：::：：::
-a -a -a ...-a x 0 -a -a ...-a x
第1个行列式:ri+r1,i=2,3,...,n 化为上三角
第2个行列式:按第1列展开
Dn = a(x+a)^(n-1) + (x-a)D(n-1)
= a(x+a)^(n-1) + (x-a)[a(x+a)^(n-2) + (x-a)D(n-2)]
= a(x+a)^(n-1) + a(x-a)(x+a)^(n-2) + (x-a)^2D(n-2)
= ...
= a(x+a)^(n-1) + a(x-a)(x+a)^(n-2) + ...+ a(x-a)^(n-2)(x+a) + (x-a)^(n-1)D1
= a(x+a)^(n-1) + a(x-a)(x+a)^(n-2) + ...+ a(x-a)^(n-2)(x+a) + (x-a)^(n-1)x