用数学归纳法证明（1+2+3+n）（1+1/2+1/3+.1/n）≥n2+n-1

题目

用数学归纳法证明（1+2+3+n）（1+1/2+1/3+.1/n）≥n2+n-1
对大于2的一切正整数n，下列不等式都成立
（1+2+3+.........+n）（1+1/2+1/3+........1/n）≥n的平方+n-1

答案

(1)n=3
左=(1+2+3)(1+1/2+1/3)=6*(1+1/2+1/3)=6+3+2=11
右=3*3+3-1=11
所以,n=3时不等式成立
(2)假设n=k(k≥3)时,不等式成立
即(1+2+3+.+k)(1+1/2+.+1/k)≥k²+k-1
当n=k+1时,
左=[1+2+3+.+k+1/(k+1)]*[1+1/2+.+1/k+1/(k+1)]
=(1+2+3+.+k)(1+1/2+.+1/k)+(1+2+3+.+k)*(1/k+1)+(k+1)*[1+1/2+.+1/k+1/(k+1)]
≥k²+k-1+k(k+1)/2* (1/k+1)+(k+1)[1+1/2+1/(k+1)]
=k²+k-1+k/2+k+1+(k+1)/2+1
>k²+k-1+k/2+k+1+k/2+1
=k²+3k+1
=(k+1)²+(k+1)-1
所以 n=k+1时,不等式也成立
所以 对大于2的一切正整数n,不等式都成立