直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于_.

直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于_.

题目
直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于______.
答案

过点A作AC⊥弦BD,垂足为C,连接AB,可得C为BD的中点.
由x2+y2-6x-2y-15=0,得(x-3)2+(y-1)2=25.
知圆心A为(3,1),r=5.
由点A(3,1)到直线x+2y=0的距离AC=
|3+2|
5
=
5

在直角三角形ABC中,AB=5,AC=
5

根据勾股定理可得BC=
AB2-AC2
=
52-(
5
)
2
=2
5

则弦长BD=2BC=4
5

故答案为:4
5
根据圆的方程找出圆心坐标和半径,过点A作AC⊥弦BD,可得C为BD的中点,根据勾股定理求出BC,即可求出弦长BD的长.

直线与圆的位置关系.

本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力,灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值,会利用数形结合的数学思想解决数学问题,是一道综合题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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