⊙O中，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，求证：CA+CB/CD＝2．

题目

⊙O中，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，求证：

CA+CB

CD

＝

2

．

答案

证明：过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，∵AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，在Rt△ACM中，CM=22AC，在Rt△BCN中，CN=22BC，∴CM+CN=22（AC...

根据直径所对的圆周角是直角，以及角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=45°，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM=

2

2

AC，BN=

2

2

BC，再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等，根据全等三角形对应边相等得到DN=AM，所以DN=CM，从而得到CM+CN=DN+CN=CD，整理即可得证．

本题考点：圆周角定理．

考点点评：本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键．