求满足f(x)=sinx+积分(积分上限是x,下限是0)f(t)(x+t)dt的连续函数f(x).

题目

求满足f(x)=sinx+积分(积分上限是x,下限是0)f(t)(x+t)dt的连续函数f(x).

答案

典型的变限积分的题目,首先应该想到求导变成微分方程,
首先将原式进行变换,因为积分变量为含参积分,需要拆开
f(x) = sinx + ∫(f(t)x + f(t)t)dt
= sinx + x∫f(t)dt + ∫f(t)tdt
这样才可以两边对x求导
f`(x) = cosx + ∫f(t)dt + xf(x) + xf(x)
因为还有积分存在,所以求二阶导数
f``(x) = -sinx + f(x) + 2f(x) + 2xf`(x)
= -sinx + 3f(x) + 2xf`(x)
将f(x)记为y
那么有y``=-sinx + 3y + 2xy`
到这里就是解微分方程的问题了,这个微分方程含有（x,y,y`,y``）而且不是标准的形式,我没有解出来,我估计你的题目有点问题吧,解法就是这么个解法,我觉得你的题目应该是
f(x)=sinx+积分(积分上限是x,下限是0)f(t)(x - t)dt 【最后应该是个减号,你仔细看看,不过我的方法肯定没有错误】