已知OA,OB,OC分别是平面a内过O的三条射线,射线PO交a与点o

题目

已知OA,OB,OC分别是平面a内过O的三条射线,射线PO交a与点o
①若PO和a斜交,且∠POA=∠POB,求证：PO在a上的射影是∠AOB的平分线或它的反向延长线
②若∠POA=∠POB=∠POC,求证：PO⊥a

答案

证明：过P作PQ垂直于a交a于Q过Q作QE,QF垂直于OA,OB交于EF
OA⊥PQ OA⊥QE
所以 OA⊥面PQE
所以OA⊥PE
同理OA⊥PF
∠POA=∠POB PO=PO
易证ΔPOE≌ΔΔPOF
所以PE=PF
ΔPQE≌ΔΔPQF
QE=QF
由角平分线定义得
PQ是∠AOB的平分线或它的反向延长线
假设PO⊥a不成立
PO为平面的斜线
由①得PQ是∠AOB的平分线或它的反向延长线
∠POB=∠POC
PQ也是∠BOC的平分线或它的反向延长线
这样∠BOC与∠AOB为同一角
这与条件矛盾
PO⊥a