已知双曲线x方-y方|2=1,过点A(2,1)的直线与已知双曲线交于P1,P2两点,求线段P1P2中点P的轨迹方程

题目

已知双曲线x方-y方|2=1,过点A(2,1)的直线与已知双曲线交于P1,P2两点,求线段P1P2中点P的轨迹方程

答案

设过A(2,1)的直线方程为:y-1=k(x-2),即:y=kx-2k+1
联立双曲线x^-y^/2 =1与此直线的解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程：
(k^-2)x^ - (4k^-2k)x +(4k^-4k+3)=0
且此方程的△=(4k^-2k)^-4(k^-2)*(4k^-4k+3)=24(k -2/3)^ +40/3>0
设直线与双曲线的两个交点为P1(x1,y1),Q(x2,y2)
则上述方程的两个不同实根必为直线与双曲线两个不同交点P1,P2的横坐标x1,x2,于是有：
x1+x2=(4k^-2k)/(k^-2) ①
将P,Q两点的纵坐标分别用其横坐标表示：
y1=kx1-2k+1
y2=kx2-2k+1
∴y1+y2=k(x1+x2)-4k+2
将①式代入,得：
y1+y2=(8k-4)/(k^-2) ②
由中点坐标公式,可得出P1P2中点M(x,y)的坐标为：
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
联立①,②式,可得：
x=(2k^-k)/(k^-2)
y=(4k-2)/(k^-2) ③
两式相比,得：
x/y=k/2
k=2x/y
将此式代入③,最终化简得到：
(x-1)^/(7/8) - (y-1/2)/(7/4) =1
（化简过程中,等式两边同时消去y,因为通过图像可知,y不可能恒为0）
即,P的轨迹为中心在(1,1/2),交点在x轴上的双曲线