求广义积分Sin[x]/Sqrt[x]从0积到正无穷

题目

求广义积分Sin[x]/Sqrt[x]从0积到正无穷
Integrate[Sin[x]/Sqrt[x],{x,0,Infinity}]
即被积函数为Sin[x]/根号下x,从0积到正无穷.

答案

令√x = t,则x = t²,dx = 2tdt,则原积分变成2∫sin(t²)dt,上下限不变,再用欧拉公式sin(t²) = [e^(it²) - e^(-it²)]/2i
原式 = -i∫[e^(-t²/i) - e^(-it²)]dt
= -i√i∫e^(-t²/i) d(t/√i) + √i∫e^(-it²) d(t√i)
= -i√i∫e^(-u²)du + √i∫e^(-v²)dv
最后两个积分上下限仍然是0到∞,只是在复平面上的∞
它们又等于(-i√i + √i)(√π)/2 = (√2π)/2