证明不等式[(a+b)/2]2≤(a2+b2)/2

题目

证明不等式[(a+b)/2]2≤(a2+b2)/2

答案

作差法：[﹙a＋b﹚／2]²－[﹙a²＋b²﹚／2]
原式＝[﹙a＋b﹚²／4]－[﹙a²＋b²﹚／2]
＝﹙a²＋2ab＋b²－2a²－2b²﹚／4
＝﹣[﹙a²－2ab＋b²﹚／4]
＝﹣¼﹙a－b﹚²
∵﹙a－b﹚²≥0
∴﹣¼﹙a－b﹚²≤0
∴[(a+b)/2]²≤(a²+b²)/2