已知等差数列｛an｝的公差大于0,且a3,a5是方程x²-14x+45=0的两根,数列｛bn｝为bn=2n/(2的n+1次方),求bn的前n项和,Tn

题目

已知等差数列｛an｝的公差大于0,且a3,a5是方程x²-14x+45=0的两根,数列｛bn｝为bn=2n/(2的n+1次方),求bn的前n项和,Tn
an已经求出来是2n-1...

答案

a3,a5是方程x²-14x+45=0的两根
则a3+a5=14
即a1+2d+a1+4d=2a1+6d=14
a1+3d=7 a1=7-3d (1)
a3*a5=45
即(a1+2d)(a1+4d)=(7-d)(7+d)=49-d²=45
d²=4 因d>0 所以d=2
代入(1) a1=7-3*2=1
所以an=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1-(1/2)bn
1. n=1时 S1=1-(1/2)b1 解得b1=2/3
2. n>1时 S(n-1)=1-(1/2)b(n-1)
所以bn=Sn-S(n-1)=-(1/2)bn+(1/2)b(n-1)
bn=(1/3)b(n-1)
所以{bn}是公比为1/3的等比数列
bn=(2/3)*(1/3)^(n-1)=2*(1/3)^n
(2) cn=anbn=2(2n-1)*(1/3)^n
c(n+1)=2(2n+1)*(1/3)^(n+1)
cn-c(n+1)=2(1/3)^(n+1)*[3(2n-1)-(2n+1)]
=2(1/3)^(n+1)(4n-4)
=4(n-1)(1/3)^(n+1)
因为n≥1
所以c(n+1)≤cn