已知tan(π/4+α)=2,tanβ=1/2.⑴求tanα的值,⑵求sin(α+β)-2sinαcosβ/2sinαcosβ+cos(α+β)的值

题目

已知tan(π/4+α)=2,tanβ=1/2.⑴求tanα的值,⑵求sin(α+β)-2sinαcosβ/2sinαcosβ+cos(α+β)的值
已知tan(π/4+α)=2,tanβ=1/2.
⑴求tanα的值,
⑵求sin(α+β)-2sinαcosβ/2sinαcosβ+cos(α+β)的值

答案

1)由 tan 的和角公式：tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany),得到
tan(π/4+α)
=(tanπ/4+tanα)/(1-tanπ/4tanα)
=(1+tanα)/(1-tanα)
=2
由此可以解出 tanα = 1/3.
(2)利用 sin 和 cos 的和角公式：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,所以
[sin(α+β)-2sinαcosβ]/[2sinαsinβ+cos(α+β)]
=(sinαcosβ+cosαsinβ-2sinαcosβ)/(2sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ)
=(cosαsinβ-sinαcosβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ) (分子分母同时除以cosαcosβ)
=(tanβ-tanα)/(1+tanαtanβ)
=(1/2-1/3)/(1+(1/2)(1/3))
=1/7
即原式 = 1/7.