在三角形ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,连接AP,证明：AC的平方=AP的平方+CP乘以BP

题目

在三角形ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,连接AP,证明：AC的平方=AP的平方+CP乘以BP

答案

证明：考察三角形ACP和三角形ABP,由余旋定理
AC^2=AP^2+PC^2-2AP*PC*cos∠APC①
AB^2=AP^2+BP^2-2AP*PB*cos∠APB②
因为∠APC和∠APB互补,所以cosAPB=-cosAPC
AB^2=AP^2+BP^2+2AP*PB*cos∠APC③
①+②得AC^2+AB^2=2AP^2+PB^2+PC^2+2APcosAPC(PB-PC)
又AB=AC,由①③得2AP(PB+PC)cos∠APC=PC^2-PB^2
所以2APcos∠APC=PC-PB代入①整理即证.
另过A做AD⊥BC于点D,不妨设BP