已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交C于A、B两点,若AB⊥AF2,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,则C的离心率为( ) A.1
题目
已知椭圆
C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1、F
2,过F
1的直线交C于A、B两点,若AB⊥AF
2,且|AF
2|、|AB|、|BF
2|成等差数列,则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案
有定义易知|AB|=
a设|AF
1|=x
则|AF
2|=2a-x|BF
1|=
a-x|BF
2|=2a-(
a-x)=
a+x
∵AB⊥AF
2∴|AF
1|
2+|AF
2|
2=4c
2|AF
2|
2+|AB|
2=|BF
2|
2即:
| (2a−x)2+x2=4c2① | (2a−x)2+(a)2= (a+x)2 ② |
| |
由②得:x=a
代入①,有(2a-a)
2+a
2=4c
2 即a
2=2c
2∴离心率e=
=
故选B.
首先利用椭圆定义和|AF
2|、|AB|、|BF
2|成等差数列,能够得出|AB|=
a,然后|AF
1|=x,进而表示出|AF
2|=2a-x,|BF
1|=
a-x,|BF
2|=2a-(
a-x)=
a+x
;再由AB⊥AF
2利用勾股定理得出|AF
1|
2+|AF
2|
2=4c
2,|AF
2|
2+|AB|
2=|BF
2|
2,通过整理能够得出a
2=2c
2,即可求出离心率.
椭圆的简单性质;等差数列的性质.
本题考查了等差数列的性质以及椭圆的简单性质,由椭圆定义和|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,能够得出|AB|=a是解题的关键,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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